Les énigmes du chat...

Enigme N° 99

Chaussure à son pied…

Julie est tombée amoureuse de ces petites chaussures... A tel point qu'elle a acheté toutes les paires qu'il y avait en magasin, dans les trois couleurs disponibles : rose, bleu et blanc ; et elle ne porte plus que cela... Elle doit partir en vacances dans une heure, mais catastrophe : la lumière s'éteint ! Or elle n'a pas encore mis ses chaussures dans ses bagages et n'a pas la place de les emporter toutes !

Elle sait quel nombre minimum de chaussures elle doit prendre au hasard pour être certaine d'en avoir deux de la même couleur et utilisables (une chaussure droite ne peut pas remplacer une chaussure gauche !). Mais elle sait aussi qu'il lui faudrait en prendre 8 de plus pour être sûre d'avoir deux chaussures blanches "mettables", 7 de plus pour pouvoir sans aucun doute porter deux chaussures roses, ou 5 de plus si elle veut absolument utiliser des chaussures bleues.

Combien Julie a-t-elle donc de chaussures de chaque couleur ?

Si vous connaissez une énigme amusante ou originale, n'hésitez pas à nous la proposer avec la solution et le nom de l'auteur (si vous le connaissez ; si c'est vous, c'est encore mieux !).
Nous nous ferons un plaisir de la publier dans les semaines à venir !

Bravo à Evariste, Mister Olive, Le Dgi, Teuf, Fli et Slash (que j'oublie trop souvent de mentionner), qui sont les premiers à avoir trouvé combien elle avait de chaussures de chaque sorte...

Soit a le nombre de paires de chaussures roses, b le nombre de paires de chaussures blanches et c le nombre de paires de chaussures bleues... Elle a donc 2a chaussures roses, 2b chaussures blanches et 2c chaussures bleues.

Pour être certain d'avoir au moins une paire de chaussures mettables, il faut en emporter a + b + c + 1 (toutes les chaussures d'un même pied + une).

Pour avoir à coup sûr une paire de chaussures blanches, il faut en prendre 2a + 2c + b + 1 (dans le pire des cas, toutes les bleues, toutes les roses, et toutes les blanches (gauches ou droites) plus une).

Donc 2a + 2c + b + 1 = a + b + c + 1 + 8
soit a + c = 8 (*)

Pour avoir à coup sûr une paire de chaussures bleues, il faut en prendre 2a + 2b + c + 1.

Donc 2a + 2b + c + 1 = a + b + c + 1 + 5
soit a + b = 5 (**)

Pour avoir à coup sûr une paire de chaussures roses, il faut en prendre a + 2b + 2c + 1.

Donc a + 2b + 2c + 1 = a + b + c + 1 + 7
soit b + c = 7 (***)

Soustrayons membre à membre (***) à (*). On obtient a - b = 1 (****).

(**) + (****) nous donne 2a = 6, soit a = 3.

Julie a donc 3 paires de chaussures roses, soit 6 chaussures roses.

Remplaçons a par 3 dans (**) : 3 + b = 5 donc b = 2.

Julie a donc 2 paires de chaussures blanches, soit 4 chaussures blanches.

Remplaçons a par 3 dans (*) : 3 + c = 8 donc c = 5.

Julie a 5 paires de chaussures bleues, soit 10 chaussures bleues.